6. Докажите, что если трёхзначное число abc делится на 37, то число cab тоже делится на 37.

Пусть число abc делится на 37. Перестановку цифр можно представить так: число bca равно 10 · abc − 999a, а число cab равно 10 · bca − 999b.

Так как 999 = 37 · 27, вычитание 999a или 999b не меняет делимость на 37. Поэтому из делимости abc на 37 следует делимость bca на 37, а затем и cab на 37.