5. Докажите, что если в четырёхугольнике все стороны равны, то этот четырёхугольник — ромб.

Пусть в четырёхугольнике ABCD \(AB=BC=CD=DA\). Проведём диагональ AC.

В треугольниках ABC и CDA: \(AB=CD\), \(BC=DA\), а AC — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует, что \(\angle BAC=\angle DCA\) и \(\angle BCA=\angle DAC\). Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD, а также BC и AD, поэтому \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\). Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Все его стороны равны по условию, поэтому ABCD — ромб.