5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (a-x)(a+x)-b(b+2x)-(a-b-x)(a+b+x) = 0.

Задание 5. Доказательство тождества

Нам нужно доказать, что при любых значениях переменных a, b, x верно равенство:

(a - x)(a + x) - b(b + 2x) - (a - b - x)(a + b + x) = 0

Будем раскрывать скобки по частям и упрощать выражение.

Часть 1: (a - x)(a + x)

Это формула разности квадратов: \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \).

Применяем её:

\( (a - x)(a + x) = a^2 - x^2 \)

Часть 2: -b(b + 2x)

Раскроем скобки, умножив -b на каждое слагаемое внутри:

\( -b \cdot b + (-b) \cdot 2x = -b^2 - 2bx \)

Часть 3: -(a - b - x)(a + b + x)

Здесь немного сложнее. Давайте перегруппируем слагаемые во второй скобке, чтобы увидеть знакомую формулу:

(a + b + x) = (a + (b + x))

Теперь исходное выражение стало:

\( -(a - (b + x)) (a + (b + x)) \)

Снова применяем формулу разности квадратов \( (Y - Z)(Y + Z) = Y^2 - Z^2 \), где \( Y = a \) и \( Z = (b + x) \).

\( -(a^2 - (b + x)^2) \)

Раскроем квадрат суммы \( (b + x)^2 = b^2 + 2bx + x^2 \):

\( -(a^2 - (b^2 + 2bx + x^2)) \)

Раскроем внутренние скобки, меняя знаки:

\( -(a^2 - b^2 - 2bx - x^2) \)

Теперь раскроем внешние скобки, меняя знаки:

\( -a^2 + b^2 + 2bx + x^2 \)

Шаг 5: Соберем всё вместе.

Теперь сложим результаты всех трех частей:

\( (a^2 - x^2) + (-b^2 - 2bx) + (-a^2 + b^2 + 2bx + x^2) \)

Перепишем без лишних скобок:

\( a^2 - x^2 - b^2 - 2bx - a^2 + b^2 + 2bx + x^2 \)

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

\( (a^2 - a^2) + (-x^2 + x^2) + (-b^2 + b^2) + (-2bx + 2bx) \)

\( 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)

Таким образом, мы доказали, что левая часть равенства равна нулю.

Что и требовалось доказать.