5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение 1/(a² + 2) + 8/(a⁴ − 4) − 2/(a² − 2) отрицательно.

Допустимые значения определяются условием a² − 2 ≠ 0, то есть a² ≠ 2.

Разложим разность квадратов:

a⁴ − 4 = (a² − 2)(a² + 2).

Приведём выражение к общему знаменателю:

1/(a² + 2) + 8/((a² − 2)(a² + 2)) − 2/(a² − 2)

= ((a² − 2) + 8 − 2(a² + 2))/((a² − 2)(a² + 2))

= (a² − 2 + 8 − 2a² − 4)/((a² − 2)(a² + 2))

= (2 − a²)/((a² − 2)(a² + 2)) = −1/(a² + 2).

Так как a² + 2 > 0 при любом действительном a, то −1/(a² + 2) < 0.

Следовательно, выражение отрицательно при всех допустимых значениях переменной.