5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 1/(a² + 2) + 8/(a⁴ − 4) − 2/(a² − 2) отрицательно.

Найдём область допустимых значений. Так как \(a^4-4=(a^2-2)(a^2+2)\), знаменатели обращаются в ноль при \(a^2=2\). Следовательно, допустимы все действительные \(a\), кроме \(a=\pm\sqrt2\).

Приведём дроби к общему знаменателю \((a^2-2)(a^2+2)\):

\(\frac{1}{a^2+2}+\frac{8}{a^4-4}-\frac{2}{a^2-2}=\frac{a^2-2+8-2(a^2+2)}{(a^2-2)(a^2+2)}\).

Упростим числитель и сократим на \(a^2-2\), который не равен нулю по ОДЗ:

\(\frac{a^2-2+8-2a^2-4}{(a^2-2)(a^2+2)}=\frac{2-a^2}{(a^2-2)(a^2+2)}=-\frac{1}{a^2+2}\).

Для любого действительного \(a\) выполняется \(a^2+2>0\), поэтому \(-\frac{1}{a^2+2}<0\).

Следовательно, выражение отрицательно при всех допустимых значениях \(a\).