5. Докажите, что угол между биссектрисами двух смежных углов не зависит от величины этих углов.

Пусть смежные углы равны \(\alpha\) и \(180^\circ-\alpha\). Обозначим через \(r\) их общую сторону. Биссектриса первого угла образует с лучом \(r\) угол \(\alpha/2\), а биссектриса второго — угол \((180^\circ-\alpha)/2\) по другую сторону от \(r\).

Угол между биссектрисами равен сумме этих углов:

\(\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ\).

Полученная величина постоянна и не зависит от \(\alpha\).

Доказано: угол между биссектрисами любых двух смежных углов равен 90°.