5. Докажите, что уравнение $(x^2-4x+5)(x^2+6x+10)=-1$ не имеет корней.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что уравнение $(x^2-4x+5)(x^2+6x+10)=-1$ не имеет корней.$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем каждый множитель, выделив полный квадрат:

$x^2-4x+5=(x-2)^2+1$, а $x^2+6x+10=(x+3)^2+1$.

Для любого действительного $x$ оба множителя не меньше 1, так как квадраты неотрицательны. Следовательно, их произведение не меньше 1:

$((x-2)^2+1)((x+3)^2+1)\geq 1$.

Оно не может быть равно $-1$, поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

5. Докажите, что уравнение \((x^2-4x+5)(x^2+6x+10)=-1\) не имеет корней.