5. Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{1-3\sqrt5}+\frac{1}{1+3\sqrt5}\) есть число рациональное.

Приведём дроби к общему знаменателю. Используем формулу суммы дробей с сопряжёнными знаменателями:

\[\frac{1}{1-3\sqrt5}+\frac{1}{1+3\sqrt5}=\frac{(1+3\sqrt5)+(1-3\sqrt5)}{(1-3\sqrt5)(1+3\sqrt5)}=\frac{2}{1-(3\sqrt5)^2}=\frac{2}{1-45}=-\frac1{22}.\]

Полученное число является отношением целых чисел, поэтому оно рационально.