6. При каких значениях \(x\) дробь \(\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\) принимает наибольшее значение?

Область определения исходной дроби: \(x\ge0\), \(x\ne4\). Разложим знаменатель: \(x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\). Поэтому при \(x\ne4\) дробь равна \(\frac{1}{\sqrt{x}+2}\).

При \(x\ge0\) величина \(\sqrt{x}+2\) не меньше 2, причём наименьшее значение 2 достигается при \(x=0\). Следовательно, дробь принимает наибольшее значение \(\frac12\) при \(x=0\). Проверка по исходному выражению: \(\frac{\sqrt0-2}{0-4}=\frac12\).

Ответ: при \(x=0\); наибольшее значение дроби равно \(\frac12\).