5. Докажите неравенство: 1) (1/4)^(-3/2) < (1/27)^(-2/3); 2) 3^(1/3) > 4^(1/4) > 5^(1/5); 3) 2003^(1/2)+2005^(1/2)<2·2004^(1/2); 4) 2^(1/100)+101^(-1)>1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

\(\left(\frac14\right)^{-3/2}=4^{3/2}=8\), а \(\left(\frac1{27}\right)^{-2/3}=27^{2/3}=9\). Поэтому \(8<9\).
Возведём все положительные числа в степень \(12\): \(3^4=81>4^3=64\), а \(4^3=64>5^{12/4}=5^3=125\) в такой форме сравнение неудобно. Непосредственно: \(3^{1/3}\approx1.442\), \(4^{1/4}=\sqrt2\approx1.414\), \(5^{1/5}\approx1.380\). Следовательно, \(3^{1/3}>4^{1/4}>5^{1/5}\).
Функция \(y=\sqrt x\) вогнута, поэтому для средних арифметических: \(\frac{\sqrt{2003}+\sqrt{2005}}2<\sqrt{\frac{2003+2005}2}=\sqrt{2004}\). Значит, \(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}<2\sqrt{2004}\).
\(2^{1/100}>1\), а \(101^{-1}=\frac1{101}>0\). Поэтому \(2^{1/100}+101^{-1}>1\).

Ответ: