5. Докажите тождество \(\frac{6}{a^2-6a}-\frac{a^2}{6-a}=a+6+\frac{36a+6}{a^2-6a}\).

Докажем тождество при допустимых значениях переменной: \(a\ne0\) и \(a\ne6\).

1. Поскольку \(6-a=-(a-6)\), имеем \(-\frac{a^2}{6-a}=\frac{a^2}{a-6}\). Кроме того, \(a^2-6a=a(a-6)\).
2. Приведём левую часть к общему знаменателю:
   \[\frac{6}{a(a-6)}+\frac{a^2}{a-6}=\frac{6+a^3}{a(a-6)}.\]
3. Преобразуем правую часть к тому же знаменателю:
   \[a+6+\frac{36a+6}{a(a-6)}=\frac{(a+6)a(a-6)+36a+6}{a(a-6)}.\]
4. Так как \((a+6)a(a-6)=a^3-36a\), числитель равен \(a^3-36a+36a+6=a^3+6\). Обе части равны \(\frac{a^3+6}{a(a-6)}\).

Следовательно, тождество доказано.