5. Докажите тождество: \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right):\left(\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2}-\frac{4x}{x^2-4}\right)=\frac{x-1}{x^2}\).

Упростим первую скобку: \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}\).

Вычислим сумму в скобках. Первые две дроби дают \(\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}=1\). Кроме того, \(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2}=\frac{4x}{x^2-4}\). Следовательно, скобки равны \(1+\frac{4x}{x^2-4}-\frac{4x}{x^2-4}=1\).

Тогда всё выражение равно \(\frac{x-1}{x^2}:1=\frac{x-1}{x^2}\), что совпадает с правой частью.

Тождество доказано при \(x\ne0,\;x\ne2,\;x\ne-2\).