5.° Доведіть тотожність \(\left(\frac1{a^2-25}-\frac{a-8}{a^2-10a+25}\right):\frac{a-20}{(a-5)^2}=\frac2{a+5}\).

В записанном на изображении виде равенство не является тождеством. Проверим левую часть.

Разложим знаменатели на множители:

\[a^2-25=(a-5)(a+5),\qquad a^2-10a+25=(a-5)^2.\]

Тогда

\[\frac1{(a-5)(a+5)}-\frac{a-8}{(a-5)^2}\]

\[=\frac{a-5-(a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)}.\]

Раскроем скобки:

\[a-5-(a-8)(a+5)=-a^2+4a+35=-(a-7)(a+5).\]

Следовательно,

\[\frac1{a^2-25}-\frac{a-8}{a^2-10a+25}=-\frac{a-7}{(a-5)^2}.\]

Делим на \(\frac{a-20}{(a-5)^2}\):

\[\left(-\frac{a-7}{(a-5)^2}\right):\frac{a-20}{(a-5)^2}=-\frac{a-7}{a-20}.\]

Таким образом, левая часть равна \(-\frac{a-7}{a-20}\), а не \(\frac2{a+5}\). Вероятно, в условии допущена опечатка. ОДЗ исходного выражения: \(a\ne-5\), \(a\ne5\), \(a\ne20\).

Ответ: указанная на изображении «тождественность» неверна; левая часть упрощается до \(-\frac{a-7}{a-20}\).