5. Два равных угла имеют общую вершину, а биссектриса одного из них является продолжением биссектрисы другого. Докажите, что данные углы — вертикальные.

Пусть равные углы имеют общую вершину O, а их биссектрисы лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Так как углы равны, равны и их половины — углы между сторонами каждого угла и его биссектрисой.

Стороны каждого угла симметричны относительно его биссектрисы. Поскольку биссектрисы направлены противоположно, стороны одного угла направлены противоположно соответствующим сторонам другого. Значит, стороны двух углов образуют две пары противоположных лучей.

Углы, стороны которых являются попарно противоположными лучами, вертикальные.

Доказано.