5. Электрон, масса и заряд которого \( m_e = 9,1 · 10^{-31} \) кг и \( e = -1,6 · 10^{-19} \) Кл соответственно, двигаясь вдоль линий напряженности электростатического поля в точке с потенциалом \( φ_2 = 252 \) В, имеет скорость, модуль которой \( v_2 = 8,0 · 10^6 \) м/с. Определите потенциал точки поля, из которой электрон начал движение. Изучением электромагнитной энергии пренебречь.

Решение:

При движении электрона в электростатическом поле, его полная энергия сохраняется. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергии.

Закон сохранения энергии: \( E_1 = E_2 \), где \( E_1 \) — полная энергия в начальной точке, \( E_2 \) — полная энергия в конечной точке.

\( K_1 + P_1 = K_2 + P_2 \)

Кинетическая энергия: \( K = \frac{1}{2} m v^2 \).

Потенциальная энергия заряда \( q \) в поле с потенциалом \( φ \) равна: \( P = q · φ \).

Для электрона \( q = e \) (заряд электрона).

Следовательно, \( P = e · φ \).

Запишем уравнение сохранения энергии для электрона:

\( \frac{1}{2} m_e v_1^2 + e · φ_1 = \frac{1}{2} m_e v_2^2 + e · φ_2 \)

Начальная скорость \( v_1 \) не дана, но сказано, что электрон «начал движение», что может подразумевать \( v_1 = 0 \) (если он начал с покоя) или же он начал движение из точки с неизвестным потенциалом \( φ_1 \) и неизвестной начальной скоростью \( v_1 \).

Если предположить, что начальная скорость равна нулю (электрон начал движение из состояния покоя):

\( 0 + e · φ_1 = \frac{1}{2} m_e v_2^2 + e · φ_2 \)

Так как заряд электрона отрицательный (\( e = -1,6 · 10^{-19} \)), а \( φ_1 \) — это потенциал точки, из которой он начал движение, нам нужно найти \( φ_1 \).

Перенесём члены уравнения:

\( e · φ_1 - e · φ_2 = \frac{1}{2} m_e v_2^2 \)

\( e (φ_1 - φ_2) = \frac{1}{2} m_e v_2^2 \)

\( φ_1 - φ_2 = \frac{m_e v_2^2}{2e} \)

\( φ_1 = φ_2 + \frac{m_e v_2^2}{2e} \)

Подставим значения:

• \( m_e = 9,1 · 10^{-31} \) кг.
• \( v_2 = 8,0 · 10^6 \) м/с.
• \( e = -1,6 · 10^{-19} \) Кл.
• \( φ_2 = 252 \) В.

\( \frac{m_e v_2^2}{2e} = \frac{9,1 · 10^{-31} · (8,0 · 10^6)^2}{2 · (-1,6 · 10^{-19})} \)

\( \frac{m_e v_2^2}{2e} = \frac{9,1 · 10^{-31} · 64 · 10^{12}}{-3,2 · 10^{-19}} \)

\( \frac{m_e v_2^2}{2e} = \frac{582,4 · 10^{-19}}{-3,2 · 10^{-19}} \)

\( \frac{m_e v_2^2}{2e} = -182 \) В.

Теперь подставим это значение обратно в формулу для \( φ_1 \):

\( φ_1 = 252 \text{ В} + (-182 \text{ В}) \)

\( φ_1 = 252 - 182 = 70 \) В.

Ответ: 70 В.