5) $\frac{1}{\sin^2x}+\frac{1}{\sin x}=2$, $x\in\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$

Question

$Фото задания: 5) $\frac{1}{\sin^2x}+\frac{1}{\sin x}=2$, $x\in\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $\sin x\neq0$.

Умножим уравнение на $\sin^2x$: $1+\sin x=2\sin^2x$.

Пусть $t=\sin x$. Тогда $2t^2-t-1=0$, откуда $(2t+1)(t-1)=0$.

Следовательно, $\sin x=-\frac12$ или $\sin x=1$.

На заданном промежутке: $x=-\frac{13\pi}{6},-\frac{11\pi}{6},-\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $x\in\left\{-\frac{13\pi}{6};-\frac{11\pi}{6};-\frac{3\pi}{2}\right\}$.

5) \(\frac{1}{\sin^2x}+\frac{1}{\sin x}=2\), \(x\in\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]\)