5) \(\frac{a^2+2}{a^2+2a} - \frac{a+4}{2a+4}\)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители:
• \( a^2+2a = a(a+2) \)
• \( 2a+4 = 2(a+2) \)
2. Общий знаменатель для \( a(a+2) \) и \( 2(a+2) \) будет \( 2a(a+2) \).
3. Приведём первую дробь к общему знаменателю. Умножим числитель и знаменатель на \( 2 \):

\[ \frac{a^2+2}{a(a+2)} = \frac{2(a^2+2)}{2a(a+2)} = \frac{2a^2+4}{2a(a+2)} \]

Приведём вторую дробь к общему знаменателю. Умножим числитель и знаменатель на \( a \):

\[ \frac{a+4}{2(a+2)} = \frac{a(a+4)}{2a(a+2)} = \frac{a^2+4a}{2a(a+2)} \]

Выполним вычитание дробей:

\[ \frac{2a^2+4}{2a(a+2)} - \frac{a^2+4a}{2a(a+2)} = \frac{(2a^2+4) - (a^2+4a)}{2a(a+2)} = \frac{2a^2+4-a^2-4a}{2a(a+2)} = \frac{a^2-4a+4}{2a(a+2)} \]

Числитель является полным квадратом: \( a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2 \).

\[ \frac{(a-2)^2}{2a(a+2)} \]

Ответ: \( \frac{(a-2)^2}{2a(a+2)} \).