5. Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события: а) А «при первом броске выпала шестёрка» и В «при втором броске выпало меньше трёх очков»; б) А «при первом броске выпало больше трёх очков» и В «сумма выпавших очков меньше девяти»?

Решение:

События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

а)

При броске игральной кости возможны 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Вероятность выпадения шестёрки при первом броске: \( P(A) = \frac{1}{6} \).

Вероятность выпадения числа меньше трёх (1 или 2) при втором броске: \( P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Результат первого броска не влияет на результат второго. Следовательно, события А и В являются независимыми.

б)

Событие А: «при первом броске выпало больше трёх очков» (4, 5, 6). Вероятность \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Событие В: «сумма выпавших очков меньше девяти».

Рассмотрим все возможные исходы (36 пар) и подсчитаем те, где сумма меньше 9:

• (1,1)...(1,6) - 6 исходов (сумма от 2 до 7)
• (2,1)...(2,6) - 6 исходов (сумма от 3 до 8)
• (3,1)...(3,5) - 5 исходов (сумма от 4 до 8)
• (4,1)...(4,4) - 4 исхода (сумма от 5 до 8)
• (5,1)...(5,3) - 3 исхода (сумма от 6 до 8)
• (6,1)...(6,2) - 2 исхода (сумма от 7 до 8)

Всего исходов, где сумма меньше 9: \( 6 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 26 \). Вероятность \( P(B) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18} \).

Теперь найдём вероятность совмещения событий А и В. Событие А (первый бросок > 3) и сумма < 9:

• Первый бросок 4: (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) - 4 исхода
• Первый бросок 5: (5,1), (5,2), (5,3) - 3 исхода
• Первый бросок 6: (6,1), (6,2) - 2 исхода

Всего исходов, где А и В верны: \( 4 + 3 + 2 = 9 \). Вероятность \( P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \).

Проверим условие независимости: \( P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{13}{18} = \frac{13}{36} \).

Так как \( P(A \cap B) = \frac{1}{4} \) (что равно \( \frac{9}{36} \)), а \( P(A) \times P(B) = \frac{13}{36} \), то \( P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \). Следовательно, события А и В не являются независимыми.

Ответ: а) независимы; б) не являются независимыми.