6. Из натуральных чисел от 1 до 48 случайным образом выбирают одно число. Событие С «число чётное». Являются ли события С и D независимыми, если событие D состоит в том, что: а) выбранное число делится на 3; б) выбранное число делится на 7?

Решение:

Всего натуральных чисел от 1 до 48: 48.

Событие C: «число чётное». Чётные числа: 2, 4, ..., 48. Количество чётных чисел: \( \frac{48}{2} = 24 \). Вероятность \( P(C) = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} \).

а) Событие D: «выбранное число делится на 3».

Числа, делящиеся на 3: 3, 6, ..., 48. Количество таких чисел: \( \frac{48}{3} = 16 \). Вероятность \( P(D) = \frac{16}{48} = \frac{1}{3} \).

Событие \( C \cap D \): «число чётное и делится на 3» (т.е. делится на 6). Числа, делящиеся на 6: 6, 12, ..., 48. Количество таких чисел: \( \frac{48}{6} = 8 \). Вероятность \( P(C \cap D) = \frac{8}{48} = \frac{1}{6} \).

Проверим условие независимости: \( P(C) \times P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \).

Так как \( P(C \cap D) = P(C) \times P(D) \), события C и D независимы.

б) Событие D: «выбранное число делится на 7».

Числа, делящиеся на 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42. Количество таких чисел: 7. Вероятность \( P(D) = \frac{7}{48} \).

Событие \( C \cap D \): «число чётное и делится на 7» (т.е. делится на 14). Числа, делящиеся на 14: 14, 28, 42. Количество таких чисел: 3. Вероятность \( P(C \cap D) = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \).

Проверим условие независимости: \( P(C) \times P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{48} = \frac{7}{96} \).

Так как \( P(C \cap D) = \frac{1}{16} \) (что равно \( \frac{6}{96} \)), а \( P(C) \times P(D) = \frac{7}{96} \), то \( P(C \cap D) \neq P(C) \times P(D) \). Следовательно, события C и D не являются независимыми.

Ответ: а) независимы; б) не являются независимыми.