7. Бросают одну игральную кость. Событие А «выпало чётное число очков». Являются ли независимыми события А и В, если событие В состоит в том, что: а) выпало число очков, кратное 3; б) выпало число очков, кратное 5?

Решение:

При броске игральной кости возможны 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего исходов: 6.

Событие А: «выпало чётное число очков». Чётные числа: 2, 4, 6. Количество исходов: 3. Вероятность \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

а) Событие В: «выпало число очков, кратное 3».

Числа, кратные 3: 3, 6. Количество исходов: 2. Вероятность \( P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Событие \( A \cap B \): «выпало число, которое является чётным и кратным 3». Единственное такое число — 6. Количество исходов: 1. Вероятность \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \).

Проверим условие независимости: \( P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \).

Так как \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \), события А и В независимы.

б) Событие В: «выпало число очков, кратное 5».

Числа, кратные 5: 5. Количество исходов: 1. Вероятность \( P(B) = \frac{1}{6} \).

Событие \( A \cap B \): «выпало число, которое является чётным и кратным 5». Таких чисел нет. Количество исходов: 0. Вероятность \( P(A \cap B) = \frac{0}{6} = 0 \).

Проверим условие независимости: \( P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \).

Так как \( P(A \cap B) = 0 \) и \( P(A) \times P(B) = \frac{1}{12} \), то \( P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \). Следовательно, события А и В не являются независимыми.

Ответ: а) независимы; б) не являются независимыми.