5. Исследовать функцию: $f(x)=x^2-4x+3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Исследовать функцию: $f(x)=x^2-4x+3$.$ Фото задания

Accepted Answer

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Нули функции.

$x^2-4x+3=0$;

$(x-1)(x-3)=0$.

Следовательно, $x_1=1$, $x_2=3$.

3. Вершина параболы и множество значений.

Выделим полный квадрат:

$f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$.

Вершина параболы: $(2;-1)$. Ветви направлены вверх, поэтому минимальное значение функции равно $-1$.

$E(f)=[-1;+\infty)$.

4. Промежутки знакопостоянства.

Старший коэффициент положительный, поэтому функция положительна вне корней и отрицательна между ними:

$f(x)>0$ при $x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$;

$f(x)<0$ при $x\in(1;3)$.

5. Монотонность и экстремум.

Функция убывает на $(-infty;2]$ и возрастает на $[2;+\infty)$. В точке $x=2$ достигается минимум: $f(2)=-1$.

Ответ: $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1;+\infty)$; нули $1$ и $3$; минимум $-1$ при $x=2$; убывает на $(-infty;2]$, возрастает на $[2;+\infty)$.

5. Исследовать функцию: \(f(x)=x^2-4x+3\).