5. Исследуйте функцию \(y=x^3-3x^2+5\) с помощью производной и постройте её график.

Найдём производную: \(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\). Критические точки: \(x=0\) и \(x=2\).

Знак производной: положительный при \(x<0\), отрицательный при \(0<x<2\), положительный при \(x>2\). Следовательно, функция возрастает на \((-\infty;0)\) и \((2;+\infty)\), убывает на \((0;2)\).

При \(x=0\) функция имеет максимум: \(y(0)=5\). При \(x=2\) — минимум: \(y(2)=1\).

Вторая производная \(y''=6x-6\) обращается в ноль при \(x=1\); точка перегиба — \((1;3)\). Для построения также можно отметить точки \((-1;1)\), \((0;5)\), \((1;3)\), \((2;1)\), \((3;5)\).