5. Из 250 учащихся французский изучают 41, китайский — 30, корейский — 27, французский и китайский — 7, французский и корейский — 9, китайский и корейский — 3 учащихся. Все три языка — 2. Сколько учащихся не изучают ни одного языка? Изобразите решение задачи с помощью кругов Эйлера и произведите необходимые вычисления.

Решение:

Обозначим множества учащихся:

\( F \) — изучают французский;

\( C \) — изучают китайский;

\( K \) — изучают корейский.

Дано:

\[ |U| = 250 \]

\[ |F| = 41 \], \( |C| = 30 \), \( |K| = 27 \)

\[ |F \cap C| = 7 \], \( |F \cap K| = 9 \], \( |C \cap K| = 3 \)

\[ |F \cap C \cap K| = 2 \]

1. Найдём количество учащихся, изучающих только два языка:

Только французский и китайский: \( |F \cap C| - |F \cap C \cap K| = 7 - 2 = 5 \)

Только французский и корейский: \( |F \cap K| - |F \cap C \cap K| = 9 - 2 = 7 \)

Только китайский и корейский: \( |C \cap K| - |F \cap C \cap K| = 3 - 2 = 1 \)

2. Найдём количество учащихся, изучающих только один язык:

Только французский: \( |F| - (|F \cap C| - |F \cap C \cap K|) - (|F \cap K| - |F \cap C \cap K|) - |F \cap C \cap K| = 41 - 5 - 7 - 2 = 27 \)

Только китайский: \( |C| - (|F \cap C| - |F \cap C \cap K|) - (|C \cap K| - |F \cap C \cap K|) - |F \cap C \cap K| = 30 - 5 - 1 - 2 = 22 \)

Только корейский: \( |K| - (|F \cap K| - |F \cap C \cap K|) - (|C \cap K| - |F \cap C \cap K|) - |F \cap C \cap K| = 27 - 7 - 1 - 2 = 17 \)

3. Найдём общее число учащихся, изучающих хотя бы один язык, по формуле включений-исключений:

\[ |F \cup C \cup K| = |F| + |C| + |K| - |F \cap C| - |F \cap K| - |C \cap K| + |F \cap C \cap K| \]

\[ |F \∪ C \cup K| = 41 + 30 + 27 - 7 - 9 - 3 + 2 \]

\[ |F \cup C \cup K| = 98 - 19 + 2 = 79 + 2 = 81 \]

4. Найдём число учащихся, не изучающих ни одного языка:

\[ \text{Количество не изучающих} = |U| - |F \cup C \cup K| = 250 - 81 = 169 \]

Круги Эйлера:

Ответ: 169