5. Из корзины взяли 8 груш, затем — четверть оставшихся, а потом еще 20% оставшихся груш. После этого в корзине осталась половина первоначального числа груш. Сколько груш было в корзине?

Решение:

Обозначим первоначальное количество груш в корзине как \( X \).

1. Взяли 8 груш. Осталось: \( X - 8 \).
2. Затем взяли четверть оставшихся: \( \frac{1}{4}(X - 8) \).
3. Количество груш после этого: \( (X - 8) - \frac{1}{4}(X - 8) = \frac{3}{4}(X - 8) \).
4. Затем взяли 20% оставшихся. 20% = \( \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \).
5. Взяли: \( \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4}(X - 8) = \frac{3}{20}(X - 8) \).
6. Количество груш после этого: \( \frac{3}{4}(X - 8) - \frac{3}{20}(X - 8) \).
7. Приведем к общему знаменателю 20: \( \frac{3 \cdot 5}{20}(X - 8) - \frac{3}{20}(X - 8) = \frac{15}{20}(X - 8) - \frac{3}{20}(X - 8) = \frac{12}{20}(X - 8) \).
8. Сократим дробь: \( \frac{12}{20}(X - 8) = \frac{3}{5}(X - 8) \).
9. По условию, после этого в корзине осталась половина первоначального числа груш, то есть \( \frac{1}{2}X \).
10. Составим уравнение: \( \frac{3}{5}(X - 8) = \frac{1}{2}X \).
11. Раскроем скобки: \( \frac{3}{5}X - \frac{3}{5} \cdot 8 = \frac{1}{2}X \)
12. \( \frac{3}{5}X - \frac{24}{5} = \frac{1}{2}X \).
13. Перенесем члены с X в одну сторону, а числа в другую: \( \frac{3}{5}X - \frac{1}{2}X = \frac{24}{5} \).
14. Приведем дроби с X к общему знаменателю 10: \( \frac{3 \cdot 2}{10}X - \frac{1 \cdot 5}{10}X = \frac{24}{5} \)
15. \( \frac{6}{10}X - \frac{5}{10}X = \frac{24}{5} \)
16. \( \frac{1}{10}X = \frac{24}{5} \).
17. Умножим обе части на 10: \( X = \frac{24}{5} \cdot 10 \)
18. \( X = 24 \cdot 2 \)
19. \( X = 48 \).

Ответ: 48 груш.