5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 ч навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 ч после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Пусть:

• $$v_л$$ — собственная скорость лодки (км/ч)
• $$v_т$$ — скорость течения реки = 2 км/ч
• $$t_п$$ — время движения плота до встречи (ч)
• $$t_л$$ — время движения лодки до встречи (ч)
• $$S_{АВ}$$ — расстояние между пунктами А и В = 30 км

Скорость плота равна скорости течения реки: $$v_п = v_т = 2$$ км/ч.

Скорость лодки по течению (движение навстречу плоту): $$v_{л_по_теч} = v_л + v_т = v_л + 2$$ км/ч.

Плот отправился первым. Через 1 час из пункта А вышел плот. Лодка вышла навстречу через 1 час после плота. Встретились они через 2 часа после выхода лодки. Значит:

• Время движения лодки до встречи: $$t_л = 2$$ ч.
• Время движения плота до встречи: $$t_п = 1$$ ч (до выхода лодки) $$+ 2$$ ч (после выхода лодки) $$= 3$$ ч.

Расстояние, пройденное плотом до встречи:

• $$S_п = v_п ∙ t_п = 2 ∙ 3 = 6$$ км.

Расстояние, пройденное лодкой до встречи:

• $$S_л = v_{л_по_теч} ∙ t_л = (v_л + 2) ∙ 2$$ км.

Когда лодка вышла из пункта В навстречу плоту, расстояние между ними было $$S_{АВ} - S_п = 30 - 6 = 24$$ км.

Сумма расстояний, пройденных плотом и лодкой с момента выхода лодки до встречи, равна этому расстоянию:

• $$S_л + S_п_{до_встречи} = 24$$
• \[ (v_л + 2) ∙ 2 + 6 = 30 \]
• \[ 2v_л + 4 + 6 = 30 \]
• \[ 2v_л + 10 = 30 \]
• \[ 2v_л = 20 \]
• \[ v_л = 10 \]

Ответ: Собственная скорость лодки составляет 10 км/ч.