5. Известно, что \(2x+\frac{1}{x}=7\). Найдите значение выражения \(4x^2+\frac{1}{x^2}\).

Возведём данное равенство в квадрат:

\[\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2=7^2.\]

Раскроем квадрат суммы:

\[4x^2+4x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=49.\]

Так как \(x\ne0\), то \(4x\cdot\frac{1}{x}=4\). Поэтому

\[4x^2+4+\frac{1}{x^2}=49,\]

\[4x^2+\frac{1}{x^2}=49-4=45.\]

Ответ: \(45\).