5.К окружности с центром в точке O проведены касательная MH и секущая MO. Найдите радиус окружности, если MH = 4 см, MO= 5 см.

Решение:

Согласно свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению отрезков секущей (внешнего отрезка на всё секущую).

Дано:

• \( MH = 4 \text{ см} \) (длина касательной)
• \( MO = 5 \text{ см} \) (секущая)
• \( O \) — центр окружности

Найдём радиус окружности \( R \).

1. Обозначим точку касания как H. Тогда \( OH \) — радиус окружности, и \( OH \perp MH \), так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle MHO \) (угол H = 90°).
3. По теореме Пифагора: \( MH^2 + OH^2 = MO^2 \).
4. Подставим известные значения: \( 4^2 + R^2 = 5^2 \).
5. \( 16 + R^2 = 25 \).
6. \( R^2 = 25 - 16 \).
7. \( R^2 = 9 \).
8. \( R = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \).

Ответ: Радиус окружности равен 3 см.