6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что DBC = 27°, ABD=61° и BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Дано:

• \( \angle DBC = 27^{\circ} \)
• \( \angle ABD = 61^{\circ} \)
• \( \angle BDC = 73^{\circ} \)

Найдём углы четырёхугольника:

1. \( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 61^{\circ} + 27^{\circ} = 88^{\circ} \).
2. \( \angle ADC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 88^{\circ} = 92^{\circ} \).
3. \( \angle BCA \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. \( \angle BCA = \angle BDA \).
4. \( \angle CAD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. \( \angle CAD = \angle CBD = 27^{\circ} \).
5. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. \( \angle BAC = \angle BDC = 73^{\circ} \).
6. \( \angle BAD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD. \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 73^{\circ} + 27^{\circ} = 100^{\circ} \).
7. \( \angle BCD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BAD. \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).

Проверка:

• \( \angle ABD + \angle DBC = 61^{\circ} + 27^{\circ} = 88^{\circ} = \angle ABC \).
• \( \angle BAC + \angle CAD = 73^{\circ} + 27^{\circ} = 100^{\circ} = \angle BAD \).
• \( \angle CBD = 27^{\circ} \) (дано).
• \( \angle BDC = 73^{\circ} \) (дано).
• \( \angle ADB \) (для \( \triangle ABD \)): \( \angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 61^{\circ} = 29^{\circ} \). (Если \( \angle A = 90^{\circ} \) или \( \angle B = 90^{\circ} \) - это было бы верно, но в общем случае \( \angle A \) и \( \angle B \) не обязательно 90. \( \angle A \) и \( \angle B \) могут быть вписанными углами, но не обязательно прямоугольными.)
• \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 29^{\circ} + 73^{\circ} = 102^{\circ} \) (если \( \angle ADB = 29^{\circ} \)).
• \( \angle ABC + \angle ADC = 88^{\circ} + 102^{\circ} = 190^{\circ} \). Это не 180°, значит \( \angle ADB \) не 29°.
• Давайте пересчитаем \( \angle ADB \). \( \angle ADB \) опирается на дугу AB. \( \angle ACB \) опирается на дугу AB. \( \angle ACB = \angle ADB \).
• \( \angle ADB \) не равно \( 180-90-61 \). \( \angle A \) в \( \triangle ABD \) не 90.
• \( \angle ABD = 61^{\circ} \) и \( \angle DBC = 27^{\circ} \) => \( \angle ABC = 88^{\circ} \).
• \( \angle BDC = 73^{\circ} \) и \( \angle DBC = 27^{\circ} \) => \( \angle CDB = 73^{\circ} \).
• \( \angle CAD \) опирается на дугу CD. \( \angle CBD \) опирается на дугу CD. \( \angle CAD = \angle CBD = 27^{\circ} \).
• \( \angle BAC \) опирается на дугу BC. \( \angle BDC \) опирается на дугу BC. \( \angle BAC = \angle BDC = 73^{\circ} \).
• \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 73^{\circ} + 27^{\circ} = 100^{\circ} \).
• \( \angle BCD \) опирается на дугу BAD. \( \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \) => \( \angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
• \( \angle ADC \) опирается на дугу ABC. \( \angle ABC \) опирается на дугу ADC. \( \angle ABC = 88^{\circ} \).
• \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 88^{\circ} = 92^{\circ} \).
• \( \angle CDB = 73^{\circ} \) (дано).
• \( \angle ADB = \angle ADC - \angle CDB = 92^{\circ} - 73^{\circ} = 19^{\circ} \).
• \( \angle ACB \) опирается на дугу AB. \( \angle ADB \) опирается на дугу AB. \( \angle ACB = \angle ADB = 19^{\circ} \).
• \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \) (неясно, \( \angle ACD \) не найдено).
• \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 19^{\circ} + \angle ACD = 80^{\circ} \) => \( \angle ACD = 61^{\circ} \).
• \( \angle ABD = 61^{\circ} \) (дано).
• \( \angle ACD \) опирается на дугу AD. \( \angle ABD \) опирается на дугу AD. \( \angle ACD = \angle ABD = 61^{\circ} \). Это совпадает.

Углы четырёхугольника:

• \( \angle A = \angle BAD = 100^{\circ} \)
• \( \angle B = \angle ABC = 88^{\circ} \)
• \( \angle C = \angle BCD = 80^{\circ} \)
• \( \angle D = \angle ADC = 92^{\circ} \)

Проверка: \( 100^{\circ} + 88^{\circ} + 80^{\circ} + 92^{\circ} = 360^{\circ} \).

Ответ: Углы четырёхугольника равны: \( \angle A = 100^{\circ}, \angle B = 88^{\circ}, \angle C = 80^{\circ}, \angle D = 92^{\circ} \).