5. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом. 3) Все диаметры одной окружности равны между собой.

Анализ утверждений:

1. Первое утверждение: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой».
• Обоснование: Это утверждение является следствием аксиомы параллельных прямых Евклида (пятый постулат). По этой аксиоме, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.
• Вывод: Утверждение истинно.
2. Второе утверждение: «Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом».
• Обоснование: Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Прямоугольник становится ромбом только в том случае, если он также является квадратом (т.е. диагонали не только равны, но и перпендикулярны).
• Вывод: Утверждение ложно.
3. Третье утверждение: «Все диаметры одной окружности равны между собой».
• Обоснование: Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр. Длина любого диаметра равна удвоенному радиусу (\[ d = 2r \]). Так как радиус окружности постоянен, то и диаметр будет иметь постоянную длину, независимо от того, какие две точки на окружности выбраны для построения диаметра.
• Вывод: Утверждение истинно.

Ответ: 1 и 3