5. Какое из чисел больше: 0,333... (бесконечная периодическая дробь) или 1/3? Обоснуй ответ, не прибегая к округлениям.

Бесконечная периодическая дробь — это сумма бесконечной геометрической прогрессии:

\(0{,}333\ldots=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\ldots\).

У этой прогрессии первый член \(\frac{3}{10}\), а знаменатель \(\frac{1}{10}\). Поэтому её сумма равна \(\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{1}{3}\).

Ответ: числа равны.