5. Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра куба и вернуться в исходную вершину?

Куб имеет 12 ребер.

Чтобы обойти все ребра и вернуться в исходную вершину, нужно пройти каждое ребро хотя бы один раз. Это возможно, если граф является эйлеровым или имеет ровно две вершины нечетной степени (для обхода с возвращением в другую вершину).

В кубе все 8 вершин имеют степень 3 (нечетная).

Чтобы сделать граф эйлеровым (или иметь вершины четной степени), нужно пройти некоторые ребра дважды. Минимальное количество ребер, которое нужно пройти дважды, чтобы все вершины стали четной степени, равно половине количества вершин нечетной степени, умноженному на 2 (так как каждое ребро добавляет 1 к степени двух вершин). В данном случае, чтобы все 8 вершин стали четной степени, нужно пройти 4 ребра дважды.

Таким образом, наименьшее число ребер, которое придется пройти дважды, равно 4.