5. Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?

Решение:

Обозначим собственную скорость катера как \( v_k \) км/ч.

Скорость катера по течению: \( v_{k.по \text{ теч.}} = v_k + 2 \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v_{k.против \text{ теч.}} = v_k - 2 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_{по \text{ теч.}} = \frac{S}{v} = \frac{40}{v_k + 2} \) ч.

Время в пути против течения: \( t_{против \text{ теч.}} = \frac{S}{v} = \frac{6}{v_k - 2} \) ч.

Общее время в пути: \( t_{общ.} = t_{по \text{ теч.}} + t_{против \text{ теч.}} = 3 \) ч.

Составим уравнение:

\[ \frac{40}{v_k + 2} + \frac{6}{v_k - 2} = 3 \]

Домножим обе части уравнения на \( (v_k + 2)(v_k - 2) \) для устранения знаменателей:

\[ 40(v_k - 2) + 6(v_k + 2) = 3(v_k + 2)(v_k - 2) \]

\[ 40v_k - 80 + 6v_k + 12 = 3(v_k^2 - 4) \]

\[ 46v_k - 68 = 3v_k^2 - 12 \]

\[ 3v_k^2 - 46v_k + 56 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v_k \). Найдём дискриминант:

\[ D = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 2116 - 672 = 1444 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38 \]

Найдем значения \( v_k \):

\[ v_{k1} = \frac{46 + 38}{2 \cdot 3} = \frac{84}{6} = 14 \]

\[ v_{k2} = \frac{46 - 38}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Скорость катера против течения должна быть положительной, то есть \( v_k > 2 \). Оба значения подходят.

Проверим условие задачи:

Если \( v_k = 14 \) км/ч:

Время по течению: \( \frac{40}{14 + 2} = \frac{40}{16} = 2.5 \) ч.

Время против течения: \( \frac{6}{14 - 2} = \frac{6}{12} = 0.5 \) ч.

Общее время: \( 2.5 + 0.5 = 3 \) ч. (Подходит)

Если \( v_k = \frac{4}{3} \) км/ч:

Скорость против течения будет \( \frac{4}{3} - 2 = \frac{4 - 6}{3} = -\frac{2}{3} \) км/ч, что невозможно, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: \( 14 \) км/ч.