5. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольникаравны 24 и 40. Найдите высоту, проведённую кгипотенузе.

Краткая запись:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• Катет a = 24, гипотенуза c = 40.
• Найти: Высоту к гипотенузе (h) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем второй катет (b) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
2. Шаг 2: \( 24^2 + b^2 = 40^2 \)
3. Шаг 3: \( 576 + b^2 = 1600 \)
4. Шаг 4: \( b^2 = 1600 - 576 \)
5. Шаг 5: \( b^2 = 1024 \)
6. Шаг 6: \( b = \sqrt{1024} = 32 \)
7. Шаг 7: Площадь треугольника (S) можно вычислить как половину произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \)
8. Шаг 8: \( S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 32 = 12 \cdot 32 = 384 \)
9. Шаг 9: Площадь также можно вычислить как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: \( S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \)
10. Шаг 10: Приравниваем оба выражения для площади: \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \)
11. Шаг 11: \( a \cdot b = c \cdot h \)
12. Шаг 12: Выражаем высоту: \( h = \frac{a \cdot b}{c} \)
13. Шаг 13: Подставляем значения: \( h = \frac{24 \cdot 32}{40} = \frac{768}{40} = 19.2 \)

Ответ: 19.2