5. Косинус острого угла А треугольника АВС равен. Найдите sinA, tgA, ctg A.

Решение:

Дано, что \( \cos A = \frac{2\sqrt{6}}{5} \). Угол \( A \) — острый.

1. Найдем \( \sin A \):

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

\[ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \]

Так как \( A \) — острый угол, \( \sin A > 0 \). Поэтому:

\[ \sin A = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} \]

2. Найдем \( tg A \):

\[ tg A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\[ tg A = \frac{1}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{12} \]

3. Найдем \( ctg A \):

\[ ctg A = \frac{1}{tg A} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{12}} = \frac{12}{\sqrt{6}} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\[ ctg A = \frac{12}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \]

Ответ: \( \sin A = \frac{1}{5} \), \( tg A = \frac{\sqrt{6}}{12} \), \( ctg A = 2\sqrt{6} \).