5) \(\left(\frac14+\frac{2}{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\). Упростить выражение.

Ограничения: \(x-y\ne0\), \(x+y\ne0\).

Преобразуем вторую скобку:

\[x-\frac{x^2+y^2}{x+y}=\frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}.\]

Раскроем скобки:

\[\frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y}=\frac{xy-y^2}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y}.\]

Преобразуем первую скобку:

\[\frac14+\frac{2}{x-y}=\frac{x-y+8}{4(x-y)}.\]

Перемножим дроби и сократим множитель \(x-y\):

\[\frac{x-y+8}{4(x-y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x+y}=\frac{y(x-y+8)}{4(x+y)}.\]

Ответ: \(\frac{y(x-y+8)}{4(x+y)}\), \(x\ne y\), \(x\ne-y\).