5. Лодка прошла 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения 3 км/ч.

Пусть x км/ч — собственная скорость лодки. Тогда её скорости по течению и против течения равны соответственно x + 3 и x − 3 км/ч; при этом x > 3.

Составим уравнение по времени движения:

108/(x + 3) + 84/(x − 3) = 8.

Умножим обе части на (x + 3)(x − 3):

108(x − 3) + 84(x + 3) = 8(x² − 9).

Раскроем скобки и упростим:

192x − 72 = 8x² − 72,

8x² − 192x = 0,

8x(x − 24) = 0.

Получаем x = 0 или x = 24. Условию x > 3 удовлетворяет только x = 24.

Проверка: 108/(24 + 3) + 84/(24 − 3) = 4 + 4 = 8 ч.

Ответ: собственная скорость лодки — 24 км/ч.