5. Медианы BD и CK равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) пересекаются в точке M (рис. 60). Из точки K опущен перпендикуляр KN на основание AC. Найдите длины отрезков BM и MD, если KN = 3 см.

K — середина AB, так как CK — медиана. Поскольку AB = BC, высота из B к основанию AC также является медианой BD. В прямоугольном треугольнике ABN точка K — середина гипотенузы AB, следовательно, KN равен половине высоты BD. Значит, \(BD=2\cdot3=6\) см.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины: \(BM:MD=2:1\). Поэтому \(BM=\dfrac{2}{3}\cdot6=4\) см, \(MD=\dfrac{1}{3}\cdot6=2\) см.

Ответ: BM = 4 см, MD = 2 см.