5. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за \( x \) км/ч.
2. Скорость лодки по течению: \( x + 3 \) км/ч.
3. Время движения по течению: \( t_1 = \frac{36}{x+3} \) часа.
4. Скорость лодки против течения: \( x - 3 \) км/ч.
5. Время движения против течения: \( t_2 = \frac{36}{x-3} \) часа.
6. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 5 \) часов.
7. Составим уравнение: \( \frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5 \)
8. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{36(x-3) + 36(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 5 \)
9. \( \frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5 \)
10. \( \frac{72x}{x^2 - 9} = 5 \)
11. \( 72x = 5(x^2 - 9) \)
12. \( 72x = 5x^2 - 45 \)
13. \( 5x^2 - 72x - 45 = 0 \)
14. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \).
15. \( \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \).
16. \( x_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15 \).
17. \( x_2 = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \).
18. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( x = 15 \).

Ответ: 15 км/ч.