5. На диагонали ВД параллелограмма АВСД отметили точки Е и Ф так, что ∠ВСЕ = ∠ДАФ, при том что Е лежит между точками В и Ф. Докажите, что СЕ = АФ.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Поворот на 180° вокруг O переводит B в D, а C в A, поэтому он переводит отрезок BC в DA. Обозначим через E′ образ точки E при этом повороте. Тогда E′ лежит на диагонали BD, причём E′ находится между D и F: порядок точек на диагонали — B, E, F, D.

Поворот сохраняет длины и углы, поэтому CE = AE′ и ∠BCЕ = ∠DAE′. По условию ∠BCE = ∠DAF, следовательно, ∠DAE′ = ∠DAF.

Луч DA является общей стороной этих углов, а лучи AE′ и AF лежат по одну сторону от DA внутри угла BAD. Равенство углов означает, что лучи AE′ и AF совпадают. Обе точки E′ и F лежат также на прямой BD; прямые AD и BD пересекаются в D, поэтому совпадение лучей из A, проходящих через E′ и F, возможно только при E′ = F.

Значит, AE′ = AF. Вместе с CE = AE′ получаем CE = AF.

Доказано: CE = AF.