5. На диагоналях ромба от точки их пересечения отложены четыре равных отрезка. Докажите, что концы этих отрезков являются вершинами квадрата.

Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба, а концы четырёх равных отрезков обозначены P, Q, R, S. Точки P и Q лежат на одной диагонали по разные стороны от O, точки R и S — на другой. Пусть OP = OQ = OR = OS = r.

1. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому углы между соседними отрезками, например OP и OR, прямые.
2. Каждая сторона четырёхугольника PRQS является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами r и r. Поэтому все его стороны равны: каждая имеет длину √(r² + r²).
3. Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом.

Следовательно, концы четырёх отложенных отрезков являются вершинами квадрата.