5. На экваторе некоторой планеты тела весят на 20% меньше, чем на полюсе. Планета вращается с периодом 6 ч. Найдите среднюю плотность планеты.

Пусть масса планеты равна \(M\), радиус — \(R\), а угловая скорость вращения — \(\omega\). На полюсе центробежное ускорение равно нулю, поэтому вес тела массой \(m\): \(P_п=\dfrac{GMm}{R^2}\).

На экваторе вес на 20% меньше: \(P_э=0.8P_п\). Разность весов создаётся центробежной силой: \(m\omega^2R=P_п-P_э=0.2\dfrac{GMm}{R^2}\). После сокращения массы тела получаем \(\omega^2=0.2\dfrac{GM}{R^3}\).

Средняя плотность планеты \(\rho=\dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\), следовательно, \(\dfrac{GM}{R^3}=\dfrac{4\pi G\rho}{3}\). Тогда \(\rho=\dfrac{15\omega^2}{4\pi G}\).

Период \(T=6\) ч \(=21600\) с, поэтому \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\). Подставляя, получаем \(\rho=\dfrac{15\pi}{GT^2}=\dfrac{15\pi}{6.67\cdot10^{-11}\cdot21600^2}\approx1.52\cdot10^3\) кг/м³.

Ответ: средняя плотность планеты примерно \(1.5\cdot10^3\) кг/м³.