5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены точки А, В, С. Найдите градусную меру угла ABC.

Краткое пояснение:

Решение:

1. Рассмотрим точки А, В, С на клетчатой бумаге.
2. Пусть одна клетка имеет длину 1 единицу.
3. Определим координаты точек, если принять одну из точек за начало координат. Пусть точка C будет (0,0).
4. Тогда точка B будет (2,1) (2 клетки вправо, 1 клетка вверх).
5. Точка A будет (1,2) (1 клетка вправо, 2 клетки вверх).
6. Для нахождения угла ABC, мы можем использовать векторы BA и BC.
7. Вектор BA = A - B = (1-2, 2-1) = (-1, 1).
8. Вектор BC = C - B = (0-2, 0-1) = (-2, -1).
9. Найдем косинус угла между векторами BA и BC по формуле:
10. cos(ABC) = (BA · BC) / (|BA| * |BC|)
11. BA · BC = (-1)(-2) + (1)(-1) = 2 - 1 = 1.
12. |BA| = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2).
13. |BC| = sqrt((-2)^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5).
14. cos(ABC) = 1 / (sqrt(2) * sqrt(5)) = 1 / sqrt(10).
15. ABC = arccos(1 / sqrt(10)).
16. Приближенное значение: 1 / sqrt(10) ≈ 0.3162.
17. arccos(0.3162) ≈ 71.565°.
18. Альтернативный метод (визуальный и с использованием прямоугольного треугольника):
19. Построим прямоугольный треугольник, опустив перпендикуляр из точки A на линию, проходящую через B и C, или из точки B на линию, проходящую через A и C.
20. Проще всего построить прямоугольный треугольник, используя точки A, B и вспомогательную точку D, такую, что BD перпендикулярно AD.
21. Если мы рассмотрим точки A, B, C как вершины.
22. Представим, что B — это вершина угла.
23. Мы можем построить прямоугольный треугольник, где гипотенузой является отрезок, соединяющий A и C.
24. Однако, это не дает прямого угла.
25. Давайте попробуем другой подход:
26. Представим, что B — это точка (0,0).
27. Тогда A будет (-1, 1) (1 влево, 1 вверх относительно B).
28. Тогда C будет (-2, -1) (2 влево, 1 вниз относительно B).
29. Угол между вектором BA = (1, -1) и BC = (2, 1).
30. cos(ABC) = ((1)(2) + (-1)(1)) / (sqrt(1^2 + (-1)^2) * sqrt(2^2 + 1^2))
31. cos(ABC) = (2 - 1) / (sqrt(2) * sqrt(5)) = 1 / sqrt(10).
32. ABC = arccos(1 / sqrt(10)) ≈ 71.565°.
33. Рассмотрим другой вариант с использованием наклона.
34. Наклон BA = (2-1)/(1-2) = 1/-1 = -1. Угол с горизонталью = 135°.
35. Наклон BC = (0-1)/(0-2) = -1/-2 = 0.5. Угол с горизонталью = arctan(0.5) ≈ 26.565°.
36. Разница углов = 135° - 26.565° = 108.435°. Это не подходит.
37. Вернемся к клеткам.
38. Построим прямоугольный треугольник. Из точки A опустим перпендикуляр на горизонтальную линию, проходящую через B.
39. Пусть B = (0,0). Тогда A = (-1,1). C = (-2,-1).
40. Угол ABC.
41. Рассмотрим отрезок AB. Его длина = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(2).
42. Рассмотрим отрезок BC. Его длина = sqrt((-2)^2 + (-1)^2) = sqrt(5).
43. Отрезок AC. Его длина = sqrt((-2 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2) = sqrt((-1)^2 + (-2)^2) = sqrt(1+4) = sqrt(5).
44. Треугольник ABC равнобедренный (AB = AC = sqrt(5)).
45. Угол ABC.
46. Используем теорему косинусов для треугольника ABC.
47. AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(ABC)
48. (sqrt(5))^2 = (sqrt(2))^2 + (sqrt(5))^2 - 2 * sqrt(2) * sqrt(5) * cos(ABC)
49. 5 = 2 + 5 - 2 * sqrt(10) * cos(ABC)
50. 5 = 7 - 2 * sqrt(10) * cos(ABC)
51. 2 * sqrt(10) * cos(ABC) = 7 - 5 = 2
52. cos(ABC) = 2 / (2 * sqrt(10)) = 1 / sqrt(10).
53. ABC = arccos(1 / sqrt(10)) ≈ 71.565°.
54. В задании рисунок с клетками. Точки A, B, C.
55. B находится на пересечении 3-ей горизонтальной и 4-ой вертикальной линии (считая снизу слева).
56. A находится на пересечении 4-ой горизонтальной и 3-ей вертикальной линии.
57. C находится на пересечении 2-ой горизонтальной и 3-ей вертикальной линии.
58. Пусть B = (0,0).
59. Тогда A = (-1, 1) (1 влево, 1 вверх).
60. Тогда C = (-1, -1) (1 влево, 1 вниз).
61. Отрезок BA: длина = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(2).
62. Отрезок BC: длина = sqrt((-1)^2 + (-1)^2) = sqrt(2).
63. Отрезок AC: длина = sqrt((-1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2) = sqrt(0^2 + (-2)^2) = 2.
64. Треугольник ABC равнобедренный (BA = BC).
65. Угол ABC.
66. Используем теорему косинусов:
67. AC^2 = BA^2 + BC^2 - 2 * BA * BC * cos(ABC)
68. 2^2 = (sqrt(2))^2 + (sqrt(2))^2 - 2 * sqrt(2) * sqrt(2) * cos(ABC)
69. 4 = 2 + 2 - 2 * 2 * cos(ABC)
70. 4 = 4 - 4 * cos(ABC)
71. 4 * cos(ABC) = 0
72. cos(ABC) = 0
73. ABC = 90°.

Ответ: 90°