№5 На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что угол AMC равен углу ANB.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то \(AB=AC\).

Рассмотрим треугольники ABM и ACN. В них:

1. \(AB=AC\);
2. \(BM=CN\) по условию;
3. углы \(ABM\) и \(ACN\) равны как углы при основании равнобедренного треугольника.

Следовательно, \(\triangle ABM=\triangle ACN\) по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(\angle AMB=\angle ANC\).

Точки B, M, N, C лежат на одной прямой, поэтому углы \(AMC\) и \(AMB\), а также \(ANB\) и \(ANC\) являются смежными. Из равенства смежных углов следует:

\[\angle AMC=\angle ANB.\]

Что и требовалось доказать.