5. На рис. 10 ABCD — параллелограмм, BE = DF. Докажите, что AE ∥ CF.

На рисунке точки E и F лежат на диагонали BD, а O — точка пересечения диагоналей AC и BD.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BO = OD. По условию BE = DF. Поскольку E, O и F расположены на BD, из равных отрезков BE и DF и равенства BO и OD следует OE = OF; значит, O — середина EF.

Также O — середина AC. Следовательно, в четырёхугольнике AECF диагонали AC и EF пересекаются и делятся пополам. Такой четырёхугольник — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны AE и CF параллельны.

Доказано: AE ∥ CF.