5. На рисунке AB = BC, OM — биссектриса треугольника AOB, ∠MOC = 135°. Докажите, что ∠ABO = ∠OBC.

По рисунку точки A, O и C лежат на одной прямой, причём O находится между A и C. Поэтому лучи OA и OC противоположны.

Смежные углы ∠AOM и ∠MOC в сумме дают 180°, откуда ∠AOM = 180° − 135° = 45°.

OM — биссектриса угла AOB, следовательно, ∠AOM = ∠MOB = 45°. Значит, ∠AOB = 90° и BO ⟂ AC.

В треугольниках ABO и CBO углы при O прямые, AB = BC по условию, а BO — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому соответствующие углы при B равны: ∠ABO = ∠OBC.

Что и требовалось доказать.