5. На рисунке изображен график функции вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведенную в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Решение:

График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Это означает, что коэффициент \( a \) отрицательный.

Вершина параболы находится в точке \( x = 1 \). Ось симметрии параболы — прямая \( x = 1 \).

Функция возрастает на промежутке, где \( x \) увеличивается, а \( y \) уменьшается (слева от вершины), и убывает на промежутке, где \( x \) увеличивается, а \( y \) уменьшается (справа от вершины).

Согласно графику:

• Функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 1] \).
• Функция убывает на промежутке \( [1; \infty) \).

Сравним эти промежутки с предложенными:

• 1) \( [0; 3] \) — на этом промежутке функция сначала возрастает (от \( x=0 \) до \( x=1 \)), а затем убывает (от \( x=1 \) до \( x=3 \)).
• 2) \( [-1; 1] \) — на этом промежутке функция возрастает.
• 3) \( [2; 4] \) — на этом промежутке функция убывает.
• 4) \( [1; 4] \) — на этом промежутке функция убывает.

Утверждение А) Функция возрастает на промежутке.

Подходит промежуток \( [-1; 1] \), которому соответствует цифра 2.

Утверждение Б) Функция убывает на промежутке.

Подходят промежутки \( [2; 4] \) (цифра 3) и \( [1; 4] \) (цифра 4). Однако, часто в таких заданиях подразумевается наибольший возможный промежуток, который является частью области убывания. Промежуток \( [1; 4] \) является большей частью области убывания. Если выбрать \( [2; 4] \), то это будет корректно, но \( [1; 4] \) также будет корректно. Обычно выбирают тот, который содержит вершину параболы на границе.

Проверим, как парабола проходит через оси. Точка \( (0,0) \) не лежит на графике. Точка \( (1, y_{max}) \). Значение \( y \) в точке \( x=0 \) отрицательное. Значение \( y \) в точке \( x=2 \) положительное. Значение \( y \) в точке \( x=3 \) отрицательное. Парабола пересекает ось \( x \) где-то между 2 и 3, и где-то до 0.

Учитывая, что ось симметрии \( x=1 \), то \( y(0) = y(2) \) и \( y(-1) = y(3) \). Из графика видно, что \( y(0) < 0 \), \( y(2) < 0 \). Вершина находится выше оси \( x \).

Функция возрастает до \( x=1 \), убывает после \( x=1 \).

А) Функция возрастает на промежутке: \( [-1; 1] \) (цифра 2).

Б) Функция убывает на промежутке:

\( [0; 3] \) - не подходит, так как на нем есть и возрастание, и убывание.

\( [2; 4] \) - функция убывает на этом промежутке.

\( [1; 4] \) - функция убывает на этом промежутке.

Между 3 и 4 есть вариант \( [2;4] \) и \( [1;4] \). Так как \( x=1 \) - это вершина, то парабола убывает на \( [1; ∞) \). Следовательно, она убывает и на \( [2;4] \) и на \( [1;4] \).

Наиболее точным ответом для убывания будет тот, который включает максимальный промежуток, начинающийся от вершины, то есть \( [1; 4] \) (цифра 4).

Если бы было \( [1; ∞) \), это было бы точнее.

Выбираем \( [2; 4] \) (цифра 3) как вариант, где функция точно убывает.

В заданиях такого типа обычно выбирают наиболее полный или конкретный вариант, соответствующий части графика.

Давайте попробуем сопоставить:

А) Функция возрастает: \( [-1; 1] \) (2)

Б) Функция убывает: \( [2; 4] \) (3)

Альтернативно, Б) Функция убывает: \( [1; 4] \) (4)

Если смотреть на график, то \( x=0 \) и \( x=2 \) находятся на одной высоте. \( y(0) = y(2) \). Так как \( a < 0 \) и ось симметрии \( x=1 \), то \( y(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \). \( y(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c \). \( c = 4a + 2b + c \) \( \Rightarrow 4a + 2b = 0 \) \( \Rightarrow 2b = -4a \) \( \Rightarrow b = -2a \).

Ось симметрии \( x = -b / (2a) = -(-2a) / (2a) = 2a / (2a) = 1 \). Это совпадает с графиком.

Нам нужно \( c < 0 \) (т.к. \( y(0) < 0 \)).

Функция возрастает на \( (-\infty; 1] \). Из предложенных вариантов подходит \( [-1; 1] \) (2).

Функция убывает на \( [1; \infty) \). Из предложенных вариантов подходят \( [2; 4] \) (3) и \( [1; 4] \) (4).

Поскольку \( [2; 4] \) является частью \( [1; 4] \) и обе находятся в области убывания, то скорее всего, предполагается выбрать любой из них. Часто выбирают более узкий интервал, если он явно виден на графике.

Давайте предположим, что \( y(3) < 0 \) и \( y(4) < 0 \).

Исходя из того, что \( y(0) < 0 \) и \( y(2) < 0 \), а вершина \( x=1 \) выше оси \( x \), можно предположить, что корни параболы находятся вне интервала \( [0, 2] \).

Промежуток \( [2; 4] \) лежит полностью в области убывания. Промежуток \( [1; 4] \) также лежит в области убывания. Промежуток \( [0; 3] \) содержит и возрастание, и убывание. Промежуток \( [-1; 1] \) — возрастание.

Наиболее вероятное соответствие:

А) Функция возрастает на промежутке: \( [-1; 1] \) (2)

Б) Функция убывает на промежутке: \( [2; 4] \) (3)

Ответ: