5. На рисунке изображена развёртка правильной пирамиды. Диагональ квадрата ABCD равна 12 см, высота треугольника BPC, опущенная из вершины P, — 3√3 см. Найдите длину отрезка, соединяющего вершину данной пирамиды с центром основания.

Основание пирамиды — квадрат ABCD, а высота боковой грани BPC — апофема пирамиды.

1. Расстояние от центра квадрата до его стороны равно половине стороны квадрата. Если диагональ квадрата равна 12 см, то его сторона равна 12/√2 = 6√2 см, а расстояние от центра до стороны — 3√2 см.
2. Апофема равна 3√3 см. Высота пирамиды, соединяющая вершину с центром основания, вместе с расстоянием от центра квадрата до стороны и апофемой образует прямоугольный треугольник.
3. По теореме Пифагора: h² = (3√3)² − (3√2)² = 27 − 18 = 9, поэтому h = 3 см.

Ответ: 3 см.