№ 5. На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Точки M и N — середины отрезков BO и DO. Докажите, что AMCN — параллелограмм.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\). Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина диагонали \(AC\).

Рассмотрим треугольник \(BDC\). Точка \(O\) — середина \(BD\), а точки \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(BO\) и \(DO\) соответственно.

Введём векторы: пусть \(\vec{OB}=\vec b\), \(\vec{OD}=-\vec b\), а \(\vec{OC}=\vec c\), \(\vec{OA}=-\vec c\).

Так как \(M\) — середина \(BO\), то \(\vec{OM}=\frac12\vec b\). Так как \(N\) — середина \(DO\), то \(\vec{ON}=-\frac12\vec b\).

Тогда:

\(\vec{AM}=\vec{AO}+\vec{OM}=\vec c+\frac12\vec b\),

\(\vec{CN}=\vec{CO}+\vec{ON}=-\vec c-\frac12\vec b\).

Следовательно, \(\vec{AM}=-\vec{CN}\), значит, стороны \(AM\) и \(CN\) параллельны и равны.

Аналогично:

\(\vec{MC}=\vec{MO}+\vec{OC}=-\frac12\vec b+\vec c\),

\(\vec{AN}=\vec{AO}+\vec{ON}=\vec c-\frac12\vec b\).

Следовательно, \(\vec{MC}=\vec{AN}\), значит, стороны \(MCd и \(AN\) параллельны и равны.

Таким образом, в четырёхугольнике \(AMCN\) противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, \(AMCN\) — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.