5. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и K так, что BM : MC = 2 : 3, CK : KD = 5 : 3. Выразите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{BA}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\).

Положим точку \(B\) за начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), \(\overrightarrow{BA}=\vec a\), а в параллелограмме \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\).

Из отношения \(BM:MC=2:3\) следует \(\overrightarrow{BM}=\frac{2}{5}\vec b\).

Из отношения \(CK:KD=5:3\) следует \(\overrightarrow{CK}=\frac{5}{8}\overrightarrow{CD}=-\frac{5}{8}\vec a\). Поэтому \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CK}=\vec b-\frac{5}{8}\vec a\).

Тогда \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BM}=\vec b-\frac{5}{8}\vec a-\frac{2}{5}\vec b=\frac{3}{5}\vec b-\frac{5}{8}\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{MK}=-\frac{5}{8}\vec a+\frac{3}{5}\vec b\).