5. На стороне CD ромба ABCD лежит точка E так, что CE = ED, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{ED}, \overrightarrow{BD}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB},\ \vec b=\overrightarrow{AD}\).

Положим начало в точке A. Тогда \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), поскольку ABCD — параллелограмм.

1. O — середина диагонали AC, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\).

2. E — середина CD. Так как \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\), получаем \(\overrightarrow{CE}=-\frac12\vec a\). Следовательно, \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\frac12\vec a+\vec b\).

3. \(\overrightarrow{ED}=\frac12\overrightarrow{CD}=-\frac12\vec a\).

4. По правилу треугольника \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec a+\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{AE}=\frac12\vec a+\vec b,\quad \overrightarrow{ED}=-\frac12\vec a,\quad \overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a\).